3.4 贝塞尔特征问题与傅里叶—贝塞尔展开

数学物理方法 · 3.4 贝塞尔特征问题与傅里叶—贝塞尔展开

数学物理方程篇·第三章 / 3.4

贝塞尔特征问题与傅里叶—贝塞尔展开

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径向问题写成

147

所以权为 $149$ 。原点取有界或正则分支，外圆给相同的自伴边界；不同特征值的函数满足

148

这也符合圆盘面积元 $150$ ：外侧同样宽度的一圈比内侧面积更大。把系数积分写成 $151$ 会投影到错误的内积。

图 P3-8 同样宽的外圈面积更大，径向投影要乘r

两条加粗圆环示意相同径向宽度；颜色强调外圈面积比内圈大。

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对 $154$ ，积分恒等式为

152

若D边界 $155$ ，由 $156$ 得到 $157$ 。

若N边界 $158$ 且 $159$ ，则 $160$ 。

若Robin边界 $161$ ，则

153

教材把模写作 $162$ ，模平方写 $163$ ；这里直接用 $164$ 表示积分本身，分母不要再平方一次。零模态 $165$ 另算，不套含 $166$ 的式子。

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物理散热 $176$ 时，可用上一章能量式判断非负性； $177$ 的圆盘没有常数零模态。教材更一般的 $178$ 若系数任意，不能不检查就断言特征值全为正。负谱情形可能需要修正贝塞尔函数，基础物理散热题先按题设排除。

图 P3-9 D、N、Robin边界对应不同根与模平方

对N边界，只写J₁正根会漏掉k=0常数模态；k=0不应代入含1/k的正模态公式。

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若 $180$ 构成所选边界下的系统，则

179

若D边界 $181$ ，就用上节D模平方。N边界 $182$ 时，常数模态系数是 $183$ ，其余按正根展开。

逐段光滑初始数据通常可在适当意义下展开；内部跳跃点恢复左右平均。D基函数在外端每项都为零，不能声称它在 $184$ 时还逐点等于该非零端值。热问题可在 $185$ 立即满足边界，初边界角点需另说相容性。

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单位圆D边界，记 $188$ ，展开 $189$ 。分子

186

第一步用 $190$ 分部积分；第二步用 $191$ ，因为 $192$ 。分母 $193$ ，故

187

不要从“系数按三次幂”就忽略 $194$ 的大小和符号。实际算前几项时，分母的贝塞尔值同样要算。

图 P3-10 径向抛物线由J0的离散径向模态拼成

切换图示

当前保留1个径向模态；每一项都在r=1为零、在原点有界。