数学物理方程篇·第三章 / 3.7
勒让德方程与多项式
教材292—296页
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27 球坐标先说明轴对称，别默认所有球问题都只有P_n
三维球坐标的轴对称调和方程为
轴对称表示绕选定轴旋转不变，与方位角无关。设，得到
令、，角向变成
一般非轴对称球问题还会出现连带勒让德函数与球谐函数；它们不是本章主要范围。看到球形区域仍先检查边界是否轴对称，不能不加说明地删掉方位角。
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28 两极的有界性选出n乘n加一
对完整球面，分别是两极，要求角函数允许的有界正则行为。可选特征值为，；相应有界解按归一化，得到勒让德多项式。
另一个标准解在端点奇异，完整球面常因有界性排除。只要求一个极点有界、或角区间截去端点时，结论可能不同，不能把所有勒让德方程参数都强行取整数。
本题自伴形式，权为1。若仍用角度积分，权变为。这不是两套不同理论，而是变量替换。
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29 Rodrigues公式：从一条式子生成低阶多项式
原书先对的导数建立关系，证明得到的函数满足勒让德方程；这个证明说明它不是随便选出的多项式。
常用低阶表：
第一轮熟记到，及更高阶可用递推。多项式展开题通常用低阶表达式比较系数最快，不必每次求次导数。
图 P3-15 Rodrigues公式只需按固定顺序求导与归一化按上排从左向右、下排从右向左阅读；归一化常数不能漏掉n!。
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30 奇偶性和端点值是免费简化工具
因此偶函数只含偶阶，奇函数只含奇阶。偶阶；奇阶。半球的赤道边界会据此选择奇阶或偶阶。
图 P3-16 低阶勒让德多项式满足P_n(1)=1当前显示P0、P1、P2、P3；这是普通x变量图，不是球内温度等值线。
零温对应值为零；绝热对应法向导数为零；不要把两者反过来。
这些性质不仅节省积分，还能检查答案。例如的展开若出现，无需继续算就知道错了。